P5665-划分

题目:

题目描述:

2048 年，第三十届 CSP 认证的考场上，作为选手的小明打开了第一题。这个题的样例有 $n$ 组数据，数据从 $1 \sim n$ 编号，$i$ 号数据的规模为 $a_i$。

小明对该题设计出了一个暴力程序，对于一组规模为 $u$ 的数据，该程序的运行时间为 $u^2$。然而这个程序运行完一组规模为 $u$ 的数据之后，它将在任何一组规模小于 $u$ 的数据上运行错误。样例中的 $a_i$ 不一定递增，但小明又想在不修改程序的情况下正确运行样例，于是小明决定使用一种非常原始的解决方案：将所有数据划分成若干个数据段，段内数据编号连续，接着将同一段内的数据合并成新数据，其规模等于段内原数据的规模之和，小明将让新数据的规模能够递增。

也就是说，小明需要找到一些分界点 $1 \leq k_1 \lt k_2 \lt \cdots \lt k_p \lt n$，使得

$\sum_{i=1}^{k_1} a_i \leq \sum_{i=k_1+1}^{k_2} a_i \leq \cdots \leq \sum_{i=k_p+1}^{n} a_i$

注意 $p$ 可以为 $0$ 且此时 $k_0 = 0$，也就是小明可以将所有数据合并在一起运行。

小明希望他的程序在正确运行样例情况下，运行时间也能尽量小，也就是最小化

$(\sum_{i=1}^{k_1} a_i)^2 + (\sum_{i=k_1+1}^{k_2} a_i)^2 + \cdots + (\sum_{i=k_p+1}^{n} a_i)^2$

小明觉得这个问题非常有趣，并向你请教：给定 $n$ 和 $a_i$，请你求出最优划分方案下，小明的程序的最小运行时间。

输入格式:

由于本题的数据范围较大，部分测试点的 $a_i$ 将在程序内生成。

第一行两个整数 $n, type$。$n$ 的意义见题目描述，$type$ 表示输入方式。

1. 若 $type = 0$，则该测试点的 $a_i$ 直接给出。输入文件接下来：第二行 $n$ 个以空格分隔的整数 $a_i$，表示每组数据的规模。
2. 若 $type = 1$，则该测试点的 $a_i$ 将特殊生成，生成方式见后文。输入文件接下来：第二行六个以空格分隔的整数 $x, y, z, b_1, b_2, m$。接下来 $m$ 行中，第 $i (1 \leq i \leq m)$ 行包含三个以空格分隔的正整数 $p_i, l_i, r_i$。

对于 $type = 1$ 的 23~25 号测试点，$a_i$ 的生成方式如下：

给定整数 $x, y, z, b_1, b_2, m$，以及 $m$ 个三元组 $(p_i, l_i, r_i)$。

保证 $n \geq 2$。若 $n \gt 2$，则 $\forall 3 \leq i \leq n, b_i = (x \times b_{i−1} + y \times b_{i−2} + z) \mod 2^{30}$。

保证 $1 \leq p_i \leq n, p_m = n$。令 $p_0 = 0$，则 $p_i$ 还满足 $\forall 0 \leq i \lt m$ 有 $p_i \lt p_{i+1}$。

对于所有 $1 \leq j \leq m$，若下标值 $i (1 \leq i \leq n)$满足 $p_{j−1} \lt i \leq p_j$，则有

$a_i = \left(b_i \mod \left( r_j − l_j + 1 \right) \right) + l_j$

上述数据生成方式仅是为了减少输入量大小，标准算法不依赖于该生成方式。

输出格式:

输出一行一个整数，表示答案。

样例:

样例输入 1:

1
2

5 0
5 1 7 9 9

样例输出 1:

1

247

样例输入 2:

1
2

10 0
5 6 7 7 4 6 2 13 19 9

样例输出 2:

1

1256

样例输入 3:

1
2
3
4
5

10000000 1
123 456 789 12345 6789 3
2000000 123456789 987654321
7000000 234567891 876543219
10000000 456789123 567891234

样例输出 3:

1

4972194419293431240859891640

思路:

实现:

 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62

#include "ybwhead/ios.h"
int n, type, x, y, z, m;
const int maxn = 4e7 + 10;
const int maxm = 1e5 + 10;
int a[maxn], b[maxn], p[maxm], l[maxm], r[maxm], q[maxn], pre[maxn];
long long sum[maxn];
const int mod = (1 << 30);
long long d(int x)
{
    return sum[x] + sum[x] - sum[pre[x]];
}
int main()
{
    yin >> n >> type;
    if (type)
    {
        yin >> x >> y >> z >> b[1] >> b[2] >> m;
        for (register int i = 1; i <= m; i++)
        {
            yin >> p[i] >> l[i] >> r[i];
        }
        for (register int i = 3; i <= n; i++)
        {
            b[i] = (0ll + 1ll * b[i - 1] * x + 1ll * b[i - 2] * y + z) % mod;
        }
        for (register int i = 1; i <= m; i++)
            for (register int j = p[i - 1] + 1; j <= p[i]; j++)
            {
                a[j] = (b[j] % (r[i] - l[i] + 1)) + l[i];
                sum[j] = sum[j - 1] + a[j];
            }
    }
    else
    {
        for (register int i = 1; i <= n; i++)
        {
            yin >> a[i];
            sum[i] = sum[i - 1] + a[i];
        }
    }
    int l, r;
    l = r = 0;
    for (register int i = 1; i <= n; i++)
    {
        while (l < r && d(q[l + 1]) <= sum[i])
            ++l;
        pre[i] = q[l];
        while (l < r && d(q[r]) >= d(i))
            --r;
        q[++r] = i;
    }
    __int128 ans = 0, tmp;
    int now = n;
    while (now)
    {
        tmp = d(now) - sum[now];
        tmp = tmp * tmp;
        ans += tmp;
        now = pre[now];
    }
    yout << ans << endl;
}